Binárne kódy kvadratických zvyškov

Abstract

This thesis studies binary quadratic-residue codes (QR codes), which form a special class of cyclic codes with prime block length p. In this work, we define QR codes using quadratic residues modulo p and prove their basic properties. The main goal of the thesis is a detailed proof of properties of their minimum distance d. We formally prove that for every binary QR code the minimum distance d is odd, and we derive a lower bound on the minimum distance known as the Square Root Bound. The second part of the thesis is devoted to decoding algorithms. We present the principle of permutation decoding and the method of decoding via covering polynomials.

Táto bakalárska práca sa zaoberá štúdiom binárnych kódov kvadratických zvyš- kov (QR kódov), ktoré tvoria špeciálnu triedu cyklických kódov s prvočíselnou bloko- vou dĺžkou p. V práci definujeme QR kódy pomocou kvadratických zvyškov modulo p a dokazujeme ich základné vlastnosti. Hlavným cieľom práce je podrobný dôkaz vlastností ich minimálnej vzdialenosti d. Formálne dokazujeme, že pre každý binárny QR kód je d nepárne číslo a odvodzujeme dolný odhad minimálnej vzdialenosti (tzv. Square Root Bound). Druhá časť práce je venovaná algoritmom dekódovania. Predstavujeme princíp permutačného dekódovania a metódu dekódovania pomocou krycích polynómov.