Artin-Wedderburnov rozklad komplexných algebier symetrických grúp

Abstract

Every complex algebra of a finite group can be decomposed into a direct product of matrix algebras. This decomposition is called the Artin-Wedderburn decomposition. To each matrix algebra corresponds exactly one (up to isomorphism) simple module whose dimension is equal to the size of the matrices (i.e., the number of rows or columns of the matrices). For symmetric groups, this decomposition can be found using so-called Specht modules, which form a complete system of simple modules. A Specht module has a basis consisting of standard polytabloids. The main goal of this work is to find a way to determine the Artin-Wedderburn decomposition of any complex algebra of symmetric groups. For this purpose, the so-called hook-length formula is used, which calculates the dimension of a Specht module.

Každú komplexnú algebru konečnej grupy je možné rozložiť na direktný súčin matico- vých algebier. Tento rozklad sa nazýva Artin-Wedderburnov rozklad. Ku každej maticovej algebre pripadá práve jeden (až na izomorfizmus) jednoduchý modul, ktorého dimenzia je rovná veľkosti matíc (teda počtu riadkov alebo stĺpcov matíc). Pre symetrické grupy sa tento rozklad dá nájsť pomocou takzvaných Spechtových modulov, ktoré tvoria kom- pletný systém jednoduchých modulov. Spechtov modul má bázu tvorenú štandardnými polytabloidmi. Hlavným cieľom tejto práce je nájsť spôsob, ako určiť Artin-Wedderburnov rozklad ľubovoľnej komplexnej algebry symetrických grúp. K tomu sa používa takzvaná hook-length formula, ktorá spočíta dimenziu Spechtovho modulu.