Cohomological aspects of class field theory

Abstract

We give a detailed exposition of the proofs of the main statements of both local and global class field theory, taking a modern approach using cohomology of groups, Lubin-Tate group laws, and elementary facts about the density of prime ideals. All the necessary tools, especially the cohomological ones, are developed in great detail, making our exposition accessible to any reader reasonably mature in algebraic number theory and basic abstract algebra. In the final chapter, we illustrate the use of class field theory by giving a complete description of the ray class fields of the field of rational numbers and imaginary quadratic fields. As a simple corollary, we prove the Kronecker-Weber theorem and Kronecker's Jugendtraum.

Prezentujeme podrobný výklad důkazů hlavních vět lokální i globální teorie třídových těles z moderního pohledu pomocí kohomologie grup, Lubin-Tateových grupových zákonů a základních poznatků o hustotě prvoideálů. Všechna potřebná teorie, obzvláště týkající se kohomologie grup, je prezentována velice detailně. Náš výklad je tedy vhodný pro kteréhokoliv čtenáře s dostatečnou znalostí algebraické teorie čísel a základů abstraktní algebry. V poslední kapitole ilustrujeme využití teorie třídových těles popsáním všech paprskových třídových těles v případě tělesa racionálních čísel a imaginárních kvadra- tických těles. Jako snadný důsledek odvodíme Kronecker-Weberovu větu a Kroneckerův Jugendtraum.