Primes of the form aq2 + 1

Abstract

It is an open problem to decide whether there are infinitely many primes of the form n2 + 1. Matomäki proved its following weakening: for any ε > 0, there are infinitely many primes of the form p = aq2 + 1, where a ≤ p1/2+ε and q is a prime. However, the original paper leaves much of the proof implicit. In this thesis, we provide a detailed reconstruction of the argument using methods such as Harman's sieve, the large sieve, and partial summation via Riemann-Stieltjes integration.

Je otevřeným problémem rozhodnout, zda existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru n2 + 1. Matomäki dokázala jeho následující zeslabení: pro libovolné ε > 0 existuje ne- konečně mnoho prvočísel tvaru p = aq2 + 1, kde a ≤ p1/2+ε a q je prvočíslo. Nicméně v původním článku je velká část důkazu implicitní. V této práci předkládáme podrob- nou rekonstrukci použitého argumentu s využitím metod jako Harmanovo síto, velké síto a parciální sumace pomocí Riemannovy-Stieltjesovy integrace.