Continued fraction period lengths of square roots

Abstract

The relationship between continued fractions and real quadratic fields was studied by many mathemati- cians, including Lagrange and Gauss. In this thesis, we study primitive ideals in real quadratic number fields Q( √ D). We relate these ideals to the continued fraction expansion of √ D and develop estimates that describe how this expansion behaves as D varies. Using these estimates, we obtain new bounds for the number of large coefficients in the continued fraction of √ D. We also strengthen previously known bounds on the length of the continued fraction period for fields of class number 1. Chapters 4-6 contain the main results, all of which are the author's original contributions. 1

Vztah mezi řetězovými zlomky a reálnými kvadratickými tělesy zkoumalo mnoho matematiků, včetně Lagrange a Gausse. V této práci studujeme primitivní ideály v reálných kvadratických tělesech Q( √ D). Tyto ideály dáváme do souvislosti s řetězovým zlomkem čísla √ D a odvozujeme odhady popisující, jak se tento rozvoj mění v závislosti na D. Na jejich základě získáváme nové odhady počtu velkých koeficientů v řetězovém zlomku √ D a zpřesňujeme dříve známé odhady délky periody pro tělesa s třídovým číslem 1. Hlavní výsledky jsou uvedeny v kapitolách 4-6. Všechny jsou původními výsledky autora. 1