Study of the behavior of instanton solutions of one-dimensional potentials in quantum mechanics under continuous variations of the parameters characterizing these potentials

Abstract

This thesis investigates instanton solutions in a one-dimensional quantum system in the presence of a homotopy potential that interpolates between double-well and triple-well geometries. We derive exact instanton solutions for all homotopy parameters, demon- strating that the single localized instanton splits into two repelling half-instantons in the triple-well regime. By treating the instanton separation as a quasi-zero mode, we re- solve the semiclassical approximation's breakdown in the triple well regime and confirm the solution as a continuous deformation of the double-well instanton. Finally, we prove the Cherman-Ünsal conjecture for this family, using Weierstrass elliptic functions and Cauchy's residue theorem to show that tunneling boundary conditions uniquely select the action-minimizing complex saddle points. A geometric interpretation of the under- lying Riemann surface provides a unified view of instanton splitting and solution space topology.

Tato práce se zabývá instantonovým řešením v jednorozměrném kvantově mechanic- kém systému za přítomnosti homotopického potenciálu, který spojitě propojuje geometrii symetrické dvojjámy a trojjámy. Pro všechny hodnoty parametru homotopie odvozujeme explicitní instantonová řešení a ukazujeme, že v režimu trojjámy se původní lokalizovaný instanton štěpí na dva odpudivé "polo-instatony". Výsledné selhání semiklasické aproxi- mace v režimu trojjámy vyřešíme povýšením separace instantonů na kvazi-nulový mód, čímž potvrzujeme, že se jedná o spojitou deformaci původního řešení. V druhé části práce pro tuto třídu potenciálů dokazujeme Chermanovu-Ünsalovu domněnku o minimalizaci akce v komplexifikovaném dráhovém integrálu. Důkaz kombinuje Cauchyho reziduovou větu s klasifikací sedlových bodů pomocí Weierstrassových eliptických funkcí. Geomet- rická interpretace Riemannových ploch následně poskytuje sjednocený pohled na štěpení instantonů a topologii prostoru klasických trajektorií.