Vlastnosti booleovského zobrazení χ

Abstract

This thesis studies the properties of the map χ, which is the only non-linear layer of multiple cryptographic primitives, including the hash function SHA-3 and the Rasta cipher. It is important to study the properties of the map χ and its inverse because the security of these primitives depends on them. In this thesis, we present a complete classification of the bijectivity of χ over any finite field and for any vector length. In cases where χ is bijective, we also prove an explicit formula for the inverse map. Our work builds upon two papers, but we explain some proofs in greater detail or simplify them, prove auxiliary lemmas, and add examples.

Práce se zabývá vlastnostmi zobrazení χ, které je jedinou nelineární částí řady kryp- tografických primitiv, včetně hashovací funkce SHA-3 a šifry Rasta. Vlastnosti zobrazení χ a jeho inverzního zobrazení je důležité studovat, protože na nich závisí bezpečnost těchto primitiv. V této práci podáváme kompletní klasifikaci bijektivity χ pro každé ko- nečné těleso a každou délku vektorů. V případech, kdy je χ bijektivní, také dokazujeme explicitní vzorec pro inverzní zobrazení. Vycházíme při tom ze dvou článků, ale některé důkazy vysvětlujeme podrobněji, nebo je naopak zjednodušujeme, dokazujeme pomocná lemmata a přidáváme příklady.