Nelineární problém pro vlastní čísla malých matic a kónická křížení rezonančních stavů v molekulách

Abstract

The main focus of this thesis is finding the resonance states in molecules, which manifest themselves as metastable states with a finite lifetime. Resonance energies are determined as eigenvalues of an effective non-Hermitian Hamiltonian described by small matrices. An important role is played by the complex self-energy describing the cou- pling of discrete states to the continuum, whose energy dependence leads to a nonlinear eigenvalue problem. First, a linear model of two discrete states is studied. Subsequent- ly, fixed-point method and Newton method are tested for the nonlinear problem of one discrete state. In these methods, convergence problems arise due to the characteristic square root in the self-energy. Therefore, the self-energy is approximated by a Taylor expansion, whereby the problem is transformed into a quadratic equation. Finally, this approach is extended to the case of two discrete states, which is linearized by means of a quadratic eigenvalue problem. The main focus of this thesis is finding the resonance states in molecules, which manifest themselves as metastable states with a finite lifetime. Resonance energies are determined as eigenvalues of an effective non-Hermitian Hamilto- nian described by small matrices. An important role is played by the complex self-energy describing the...

Tato práce se zabývá hledáním rezonančních stavů v molekulách, které se projevují jako metastabilní stavy s konečnou dobou života. Rezonanční energie jsou určeny jako vlastní čísla efektivního nehermitovského hamiltoniánu popsaného malými maticemi. Dů- ležitou roli hraje komplexní selfenergie popisující vazbu diskrétních stavů na kontinuum, jejíž energetická závislost vede k nelineárnímu problému na vlastní čísla. Nejprve je studo- ván lineární model dvou diskrétních stavů. Následně jsou pro nelineární problém jednoho diskrétního stavu testovány metoda pevného bodu a Newtonova metoda. U nich nastává problém v konvergenci kvůli typické odmocnině v selfenergii. Proto je selfenergie aproxi- mována Taylorovým rozvojem, čímž se úloha převádí na kvadratickou rovnici. Nakonec je tento přístup rozšířen na případ dvou diskrétních stavů, který je pomocí kvadratického problému na vlastní čísla linearizován. Tato práce se zabývá hledáním rezonančních stavů v molekulách, které se projevují jako metastabilní stavy s konečnou dobou života. Rezo- nanční energie jsou určeny jako vlastní čísla efektivního nehermitovského hamiltoniánu popsaného malými maticemi. Důležitou roli hraje komplexní selfenergie popisující vazbu diskrétních stavů na kontinuum, jejíž energetická závislost vede k nelineárnímu problému na vlastní čísla....