Elliptic Curves and Fermat's Infinite Descent

Abstract

We illustrate Fermat's method of infinite descent on elliptic curves by proving Fer- mat's Last Theorem for exponent 4. The descent proceeds by repeatedly halving ra- tional points until a contradiction is reached. We introduce the basic theory of elliptic curves and develop the required tools by giving a fully elementary proof of a special case of the Mordell-Weil Theorem. To this end, we define a pair of maps of degree two and prove in full detail that they are homomorphisms whose composition is multiplica- tion by two. The exposition highlights the direct elementary correspondence between the classical descent argument and the arithmetic of rational points on elliptic curves.

Na důkazu Velké Fermatovy věty pro exponent 4 ilustrujeme Fermatovu metodu ne- konečného sestupu na eliptických křivkách. Sestup probíhá opakovaným půlením raci- onálních bodů, dokud není dosaženo sporu. Uvedeme základní teorii eliptických křivek a vyvineme potřebné nástroje provedením zcela elementárního důkazu speciální verze Mordellovy-Weilovy věty. Za tímto účelem definujeme dvojici zobrazení stupně dva a po- drobně dokážeme, že jde o homomorfismy, jejichž složení je násobením dvěma. Tento vý- klad zvýrazňuje přímou elementární korespondenci mezi klasickým argumentem sestupu a aritmetikou racionálních bodů na eliptických křivkách.