Chenova-Steinova metóda

Abstract

This bachelor thesis focuses on the Poisson approximation of sums of indicator ran- dom variables, with a specific emphasis on the Chen-Stein method. The objective is to investigate the accuracy of this approximation in scenarios involving dependent random events and to compare these results with classical limit theorems. The theoretical part defines the total variation distance and provides a detailed derivation of the Chen-Stein method apparatus, including the solution to the Stein equation and the interpretation of Stein-Chen factors. These factors allow for an effective bound on the approximation error, even with an increasing intensity of the parameter lambda. In the practical part, the method is applied to two models featuring local dependence: the occurrence of blun- ders in chess games and the genetic prevalence of cystic fibrosis. The results confirm the robustness of the Chen-Stein approach, providing quantifiable upper error bounds that are applicable in real-world situations where the assumption of independence fails.

Tato bakalářská práce se věnuje Poissonově aproximaci součtů indikátorových náhod- ných veličin se zaměřením na Chenovu-Steinovu metodu. Cílem je prozkoumat přesnost této aproximace u závislých náhodných jevů a porovnat ji s klasickými limitními větami. Teoretická část definuje vzdálenost v totální variaci a podrobně odvozuje aparát Chenovy- Steinovy metody, včetně řešení Steinovy rovnice a interpretace Steinových-Chenových faktorů. Ty umožňují efektivně ohraničit chybu aproximace i při rostoucí intenzitě para- metru lambda. V praktické části metodu aplikujeme na dva modely s lokální závislostí: výskyt chyb v šachových partiích a genetický výskyt cystické fibrózy. Výsledky potvrzují robustnost Chenova-Steinova přístupu, který poskytuje vyčíslitelné horní hranice chyby, využitelné v reálných aplikacích i tam, kde předpoklad nezávislosti selhává.