Konvergence skoro jistě na konečném Wienerově chaosu

Abstract

This bachelor thesis investigates the almost sure convergence of sequences of random variables belonging to Wiener chaoses. The primary aim is to define Wiener chaos, intro- duce its fundamental properties and use them to prove the almost sure convergence to zero for a sequence of variables within these spaces. The core of the proof lies in the application of the Borel-Cantelli lemma and the equivalence of norms on a finite direct sum of Wiener chaoses which is a consequence of the hypercontractivity of the Ornstein-Uhlenbeck semi- group. In the final part, the theoretical framework is demonstrated on an example of de- pendent random variables with an autocovariance function exhibiting power law decay.

Tato bakalářská práce se zabývá studiem konvergence skoro jistě pro posloupnosti náhodných veličin patřících do Wienerových chaosů. Cílem práce je definovat Wienerovy chaosy, představit jejich základní vlastnosti a s jejich využitím dokázat konvergenci skoro jistě k nule pro posloupnost veličin z těchto prostorů. Jádro důkazu spočívá v použití Borelova-Cantelliho lemmatu a ekvivalence norem na konečném direktním součtu Wiene- rových chaosů, která plyne z hyperkontraktivity Ornsteinovy-Uhlenbeckovy semigrupy. V závěrečné části je teoretický aparát demonstrován na příkladu závislých náhodných veličin s autokovarianční funkcí vykazující mocninný pokles.