Some variants of the Erdős-Szekeres theorem

Abstract

This thesis studies sets of points in the plane and in higher-dimensional space, fo- cusing on problems related to the Erdős-Szekeres theorem and empty convex k-gons. It analyzes the Horton construction and its generalization to d-Horton sets in Rd , and investigates their properties. It also introduces regular and randomly perturbed grids in Rd and studies their combinatorial properties. The planar Horton grid constructed by Bárány and Valtr is examined, and a new construction of a spatial Horton grid based on 3-Horton sets is presented. Finally, asymptotic estimates are derived for the number of empty triangles in planar grids and empty tetrahedra in spatial grids.

Tato práce se zabývá množinami bodů v rovině a ve vícerozměrném prostoru a zamě- řuje se na problémy související s Erdősovou-Szekeresovou větou a prázdnými konvexními k-úhelníky. Studuje Hortonovu konstrukci a její zobecnění na d-Hortonovské množiny v Rd a zkoumá jejich vlastnosti. Dále zavádí pravidelné a náhodně perturbované mřížky v Rd a analyzuje jejich kombinatorické vlastnosti. Práce se také věnuje rovinné Hor- tonovské mřížce sestrojené Báránym a Valtrem a představuje novou konstrukci prosto- rové Hortonovské mřížky založenou na 3-Hortonovských množinách. Nakonec odvozuje asymptotické odhady počtu prázdných trojúhelníků v rovinných mřížkách a prázdných tetraedrů v prostorových mřížkách.