Regulárny MQ problém

Abstract

This bachelor thesis characterizes the Regular Multivariate Quadratic (RMQ) prob- lem, a variant of finding solutions to systems of quadratic equations over a finite field. The work formalizes the regularity of a vector, defined as a vector partitioned into fixed- length blocks containing exactly one non-zero element. Then we analyze the memory complexity of RMQ and introduce a canonical polynomial form for more efficient in- stance representation. The main result is a proof of the NP-completeness of the RMQ problem. A personal contribution is the generalization of the standard MQ problem's NP-completeness proof directly for finite fields Fq. Furthermore, we demonstrate that a unique solution is achievable with fewer equations than in the original MQ problem, further optimizing the memory complexity of the RMQ problem. This result is illustrated by a custom SageMath script. Finally, the thesis analyzes the asymptotic complexity of a brute-force attack and describes the generation of RMQ instances based on derived parameters.

Bakalárska práca popisuje regulárny MQ problém (RMQ), variant hľadania riešenia sústav kvadratických rovníc nad konečným telesom. Práca formalizuje podmienku regu- larity, definovanú ako rozdelenie vektora na bloky pevnej dĺžky, v ktorých sa nachádza práve jeden nenulový prvok. V práci tiež skúmame pamäťovú zložitosť RMQ problému a popisujeme kanonickú formu polynómu pre úspornejšiu reprezentáciu rovníc. Hlavným výsledkom je dôkaz NP-úplnosti RMQ problému. Vlastným prínosom je zovšeobecnenie dôkazu NP-úplnosti základného MQ problému priamo pre telesá Fq. V práci ďalej doka- zujeme, že unikátne riešenie je dosiahnuteľné pri menšom počte rovníc než v pôvodnom MQ probléme, čo ďalej optimalizuje pamäťovú zložitosť RMQ problému. Tento výsledok ilustrujeme pomocou skriptu v systéme SageMath. Taktiež analyzujeme asymptotickú zložitosť útoku hrubou silou a popisujeme generovanie inštancií RMQ problému na zá- klade odvodených parametrov.