Moran process with location-dependent mutant fitness

Abstract

The Moran process on a graph models the evolution of two types of individuals: resi- dents and mutants. Individuals are selected for reproduction according to their assigned fitness. In this thesis, we study a variant in which resident fitness is constant, whereas mutant fitness is location-dependent. We derive an exact closed-form formula for com- plete bipartite graphs where fitness is uniform within each partition. Using this result, we show that assigning different fitness values to vertices in different partitions of com- plete bipartite graphs can significantly increase the fixation probability while keeping the average vertex fitness constant. Finally, we present the Equithermal Theorem, which provides a formula for the fixation probability of a class of weighted graphs that satisfy a specific relationship between edge weights and individual fitnesses. We show that this result implies a weaker version of the Isothermal Theorem.

Moranův proces na grafu modeluje vývoj populace dvou typů jedinců: rezidentů a mutantů. Jedinci jsou vybíráni pro reprodukci podle své fitness. V této práci se věnu- jeme variantě Moranova procesu, ve které je fitness rezidentů konstantní, zatímco fitness mutantů závisí na jejich pozici v grafu. Představujeme zde vzorec pro výpočet pravděpo- dobností fixace pro úplné bipartitní grafy, kde je fitness jedinců v rámci jednotlivých partit uniformní. S využitím tohoto výsledku ukazujeme, že rozdílná fitness vrcholů v různých partitách úplného bipartitního grafu může zvýšit pravděpodobnost fixace, i když prů- měrná fitness vrcholu zůstává konstantní. Nakonec zde prezentujeme Ekvitermální větu, která poskytuje vzorec pro výpočet pravděpodobností fixace pro třídu vážených grafů spl- ňujících specifický vztah mezi vahami hran a fitness jedinců. Navíc ukazujeme, že tento výsledek implikuje slabší verzi Izotermální věty.