Well-quasi-ordering certain classes of infinite graphs

Abstract

This thesis studies well-quasi-orderings and better-quasi-orderings of graphs under various containment relations. We give a direct proof that out-trees are wqo by the homomorphism relation via transfinite induction on a hierarchy of trees that we introduce, and we investigate extensions of this approach to leaf- labeled trees. For graphs, we analyze structural parameters that yield natural wqo classes. In particular, we extend a theorem of Ding by proving that every class of (finite or infinite) graphs with bounded tree-depth is wqo by the induced subgraph relation, and we show that graph classes with bounded independence number are wqo by the subgraph relation. Lastly, we consider generalizations of well-quasi-orderings motivated by the large cardinal axiom known as Vopěnka's principle. 1

Tato práce se zabývá dobrými kvaziuspořádáními (wqo) a lepšími kvazi- uspořádáními (bqo) v kontextu teorie grafů. Ukážeme, že stromy oriento- vané směrem od kořene jsou wqo homomorfismy, a to tak, že představíme hierarchii těchto stromů a provedeme transfinitní indukci podél této hierar- chie. Následně zvážíme, zda lze naši metodu aplikovat na stromy s barevnými listy. Co se týče grafů, studujeme parametry jako je stromová hloubka a ve- likost největší nezávislé množiny. Konkrétně ukážeme, že Dingova věta, která tvrdí, že třídy grafů s omezenou stromovou hloubkou jsou wqo indukovanými podgrafy, platí i pro nekonečné grafy. Dále ukážeme, že třídy grafů bez li- bovolně velkých nezávislých množin jsou wqo podgrafy. Nakonec, motivováni Vopěnkovým principem, zvážíme některá přirozená zobecnění dobrých kvaz- iuspořádání. 1