Evolution of the number of mutants in the Moran process on graphs

Abstract

The Moran process models mutant fluctuations in a population. In the LHN model, undirected graphs are used to define the relationships in the population. We can then compare these topologies and how they affect the growth of mutants in population. Evo- lutionary graph theory traditionally analyzes the long-term probabilities of mutant fixa- tion. Instead in this thesis, we quantify the expected number of mutants after a constant number of steps, introducing the concept of a Pareto frontier for class of all connected graphs to identify optimal population structures. We prove that for neutral mutants, the expected number of mutants remains constant across all steps and topologies. We prove that after one step, the expected mutant population size depends only on fitness and population size, regardless of graph topology. Finally we show the formula for ex- pected number of mutants after two steps. We prove that complete graph acts as the absolute boundary: maximizing the expected population for an advantageous mutant and minimizing it for a disadvantageous mutant.

Moranův proces modeluje fluktuaci mutantů v populaci. V LHN modelu se k defino- vání vztahů v populaci používají neorientované grafy. Následně můžeme tyto topologie porovnávat a zkoumat, jak ovlivňují růst mutantů v populaci. Evoluční teorie grafů tra- dičně analyzuje pravděpodobnosti fixace mutantů. Namísto toho v této práci kvantifiku- jeme očekávaný počet mutantů po konstantním počtu kroků, přičemž zavádíme koncept Paretovy hranice pro třídu všech souvislých grafů za účelem identifikace optimálních populačních struktur. Dokazujeme, že pro neutrální mutanty zůstává očekávaný počet mutantů konstantní napříč všemi kroky a topologiemi. Dále dokazujeme, že po jednom kroku závisí očekávaná populace mutantů pouze na fitness a velikosti populace, nezávisle na topologii grafu. Nakonec ukazujeme vzorec pro očekávaný počet mutantů po dvou kro- cích. Dokazujeme, že úplný graf funguje jako absolutní hranice: maximalizuje očekávanou populaci pro výhodné mutanty a minimalizuje ji pro nevýhodné.