Analytical solution for binary black hole inspirals

Abstract

When two compact objects orbit each other, their motion reveals relativistic effects that go beyond the Newtonian description of gravity. This thesis analyzes the conserva- tive dynamics of a bound compact binary system up to second post-Newtonian order and develops an explicit analytical reconstruction of the orbital motion within the Hamil- tonian framework. The problem is reformulated using action-angle variables and the Hamilton-Jacobi formalism. The radial action and the associated generating function are derived and used to construct the radial angle variable in a parametrized form. A symbolic inversion based on a Fourier-Bessel expansion is obtained and validated against numerical inversion of the same relation. The resulting inverse map enables explicit re- construction of the trajectory and its time dependence. The method captures relativistic effects such as periastron advance and provides a basis for constructing approximate gravitational waveforms.

Když dva kompaktní objekty obíhají kolem sebe, jejich pohyb odhaluje relativistické jevy, které přesahují newtonovský popis gravitace. Tato práce analyzuje konzervativní dynamiku vázaného systému kompaktní dvojhvězdy až do druhého post-newtonovského řádu a rozvíjí explicitní analytickou rekonstrukci orbitálního pohybu v rámci hamiltonov- ského formalismu. Problém je přeformulován pomocí souřadnic akce-úhel a Hamiltonovy- Jacobiho teorie. Radiální akce a odpovídající generující funkce jsou odvozeny a použity ke konstrukci radiální úhlové proměnné v parametrizovaném tvaru. Symbolická inverze založená na Fourierově-Besselově rozvoji je získána a ověřena numerickou inverzí stejného vztahu. Výsledné inverzní zobrazení umožňuje explicitní rekonstrukci trajektorie a její ča- sové závislosti. Metoda zachycuje relativistické jevy, jako je posun periastra, a poskytuje základ pro konstrukci aproximovaných gravitačně-vlnových signálů.