Reliability of Networks

Abstract

Finding the maximum flow is one of the most fundamental problems of theoretical computer science, crucial both in countless practical applications, as well as in theoretical connections to other combinatorial problems. In the usual setting, the flow is found in a static, unchanging network. However, in the real world, failures can occur-pipes burst, wires fail, roads get blocked-often at random. In this thesis, we study how these failures affect the ability of the network to carry flow. We delve into the area of network reliability, analyze its combinatorial properties, show that it is hard to compute, and investigate how to approximate it. We define d-reliability as the probability that a network with randomly failing capacities enables a flow of size at least d. As the main result, we show that if the treewidth of the network and the demand we impose on the flow are bounded, then the d-reliability is computable efficiently.

Hledání maximálního toku je jedním z nejzásadnějších problémů teoretické informa- tiky, a to jak díky široké škále aplikací, tak díky spoustě souvislostí s dalšími kombina- torickými problémy. Standardně se toky hledají ve statických sítích, jejichž kapacity se nemění. V realitě ale sítě nefungují stoprocentně - potrubí praská, dráty selhávají, nehody mohou zablokovat silnice - často téměř náhodně. V této práci proto studujeme, jak tyto výpadky ovlivňují schopnost sítě vést maximální tok. Prozkoumáme zde tzv. spolehlivost sítě, analyzujeme její kombinatorické vlastnosti, ukážeme, že je obecně těžké ji spočítat, a prozkoumáme možnosti její aproximace. Definujeme d-spolehlivost jako pravděpodob- nost, že sítí s náhodnými výpadky v kapacitě stále zvládne protéct tok o velikosti alespoň d. Jako hlavní výsledek této práce ukážeme, že pokud jsou požadavek d a stromová šířka sítě omezené, pak jsme schopni d-spolehlivost spočítat efektivně.