Shannon switching game and variants

Abstract

The Shannon Switching Game is a two-player combinatorial game on a graph: Short maintains connectivity between two vertices while Cut tries to destroy it. Lehman's theorem gives a matroidal characterization: Short wins if and only if the graph has two edge-disjoint spanning trees. The thesis presents a self-contained proof with an explicit algorithmic winning strategy for Short. Two generalizations are studied. In the (k, ℓ)-game both players act on multiple edges per round: for the symmetric (k, k)-case, k + 1 edge-disjoint spanning trees are proved sufficient for Short, while the classical necessity fails for k ≥ 2. In the (k, ℓ, P)-repairable Shannon game edge ownership expires after period P, modeling periodic maintenance: two spanning trees are shown sufficient for P ≤ 3, and a general conjecture is stated. Both the Shannon Switching Game and Pinwheel Scheduling are unified as special cases of Repairable Flow Networks, connecting combinatorial game theory with recurrent-task scheduling.

Shannonova prepínacia hra je kombinatorická hra dvoch hráčov na grafe: hráč Short udržiava spojitosť medzi dvoma vrcholmi, zatiaľ čo hráč Cut sa ju snaží prerušiť. Lehma- nova veta poskytuje matroidovú charakterizáciu: Short vyhrá práve vtedy, keď graf ob- sahuje dve hranovo disjunktné kostry. Práca popisuje dôkaz s explicitnou algoritmickou víťaznou stratégiou pre hráča Short. Práca sa zaoberá dvoma zovšeobecneniami. V (k, ℓ)-hre obaja hráči v každom kole ob- sadzujú viacero hrán: pre symetrický prípad (k, k) práca dokazuje, že k + 1 hranovo dis- junktných kostier postačuje pre Short, zatiaľ čo pôvodná podmienka nutnosti pre k ≥ 2 neplatí a nie je zovšeobecniteľná. V (k, ℓ, P)-opraviteľnej Shannonovej hre vlastníctvo hrany vyprší po P kolách, čo modeluje periodickú údržbu: dve kostry sa ukazujú ako postačujúce pre P ≤ 3 a je formulovaná všeobecná hypotéza. Shannonova prepínacia hra aj cyklické plánovanie úloh sú zjednotené ako špeciálne prí- pady opraviteľných sietí tokov, čím sa spája kombinatorická teória hier s plánovaním periodicky sa opakujúcich úloh.