Vlastnosti chromatických alfa komplexů

Abstract

In this thesis, we study chromatic Delaunay and alpha complexes. Using discrete Morse theory, we prove the collapsibility of the Čech complex onto a chromatic alpha complex, thereby answering a question posed in the paper Chromatic Alpha Complexes by Cultrera di Montesano, Draganov, Edelsbrunner, and Saghafian. They asked whether it is possible to extend the collapsibility of the Čech complex onto an alpha complex from the paper The Morse Theory of Čech and Delaunay Complexes by Bauer and Edelsbrun- ner to the chromatic setting. We establish this collapse under the condition of so-called chromatic genericity of the coloring degree. Even in the monochromatic case, this con- dition is weaker than the general position requirement needed for the theorem of Bauer and Edelsbrunner.

V této práci se zabýváme chromatickými Delaunayovými a alfa komplexy. Pomocí dis- krétní Morseho teorie dokážeme kolabovatelnost Čechova komplexu na chromatický alfa komplex, čímž zodpovíme na otázku položenou v článku Chromatic Alpha Complexes autorů Cultrery di Montesana, Draganova, Edelsbrunnera a Saghafiana. Ti se ptali, zda je možné rozšířit kolabovatelnost Čechova komplexu na alfa komplex z článku The Morse theory of Čech and Delaunay complexes autorů Bauera a Edelsbrunnera do chromatické situace. My tento kolaps dokážeme za podmínky tzv. chromatické genericity stupně obar- vení. I v monochromatické situaci je tato podmínka slabší než podmínka obecné polohy, kterou pro svou větu potřebují Bauer a Edelsbrunner.