Coxův proces v pojistné matematice

Abstract

This master's thesis investigates the theory and application of Cox processes, also known as doubly stochastic Poisson processes, within the context of insurance claim count modeling. The primary objective is to construct models capable of capturing overdispersion, event clustering, and the temporal non-stationarity inherent in insurance data. In the theoretical section, we define the Cox process, derive its fundamental prop- erties, and analyze the directing processes in the form of additive gamma and inverse Gaussian subordinators. We demonstrate that these models result in negative binomial and Poisson-Inverse Gaussian claim count distributions, respectively. The practical part comprises a simulation study conducted in the R environment, which verifies the prop- erties of parameter estimates obtained through the maximum likelihood method. The final chapter is devoted to an application using real-world data on uninsured third-party liability claims provided by the Czech Insurers' Bureau.

Tato diplomová práce se zabývá teorií a aplikací Coxových procesů, známých také jako dvojně stochastické Poissonovy procesy, v kontextu modelování počtu pojistných škod. Hlavním cílem je konstrukce modelů schopných zachytit naddisperzi, shlukování událostí a časovou nestacionaritu pojistných dat. V teoretické části definujeme Coxův pro- ces, odvozujeme jeho vlastnosti a analyzujeme řídicí procesy ve formě aditivního gama a inverzního Gaussova subordinátoru. Ukazujeme, že tyto modely vedou na negativně binomické a Poisson-inverzní Gaussovo rozdělení počtů škod. Praktická část obsahuje simulační studii v prostředí R, která ověřuje vlastnosti odhadů parametrů získaných me- todou maximální věrohodnosti. Závěrečná kapitola je věnována aplikaci na reálná data o nepojištěných škodách z povinného ručení poskytnutá Českou kanceláří pojistitelů.