Compressible steady Navier-Stokes-Fourier equations with general dependence of viscosity on temperature in two space dimensions

Abstract

We study the steady compressible Navier-Stokes-Fourier system in a bounded two- dimensional domain with viscosity coefficients depending on temperature as (1 + ϑ)α , α ∈ [0, 1], and heat conductivity growing as (1 + ϑ)m . For the Robin boundary condition for temperature, we prove the existence of a renormalized weak solution for all α ∈ [0, 1], m > 0 and γ > 1. For the Dirichlet boundary condition for temperature, we prove the existence of a renormalized ballistic energy weak solution for all α ∈ [0, 1], m > 1−α and γ > 1. Both results cover the homogeneous Dirichlet and Navier slip boundary conditions for velocity. The proofs rely on the entropy inequality or the ballistic energy inequality combined with the total energy balance, Bogovskii-operator-based density estimates, and the effective viscous flux identity. Compared to the recent three-dimensional results, the Sobolev embeddings in two dimensions yield existence under optimal conditions on the adiabatic exponent.

Studujeme stacionární stlačitelný systém Navierových-Stokesových-Fourierových rov- nic v omezené dvourozměrné oblasti s viskozitami závisejícími na teplotě jako (1 + ϑ)α , α ∈ [0, 1], a tepelnou vodivostí rostoucí jako (1+ϑ)m . Pro Robinovu okrajovou podmínku pro teplotu dokazujeme existenci renormalizovaného slabého řešení pro všechna α ∈ [0, 1], m > 0 a γ > 1. Pro Dirichletovu okrajovou podmínku pro teplotu dokazujeme existenci renormalizovaného "ballistic energy" slabého řešení pro všechna α ∈ [0, 1], m > 1 − α a γ > 1. Oba výsledky zahrnují homogenní Dirichletovu i Navierovu okrajovou podmínku pro rychlost. Důkazy jsou založeny na entropické nerovnosti, resp. balistické energetické nerovnosti, kombinované s bilancí celkové energie, odhadech hustoty pomocí Bogovského operátoru a "effective viscous flux" identitě. Ve srovnání s nedávnými výsledky ve třech dimenzích vedou lepší Sobolevovy vnoření ve dvou dimenzích k existenci za optimálních podmínek na adiabatický exponent.