Primes and Witnessing in Bounded Arithmetic

Abstract

We study the ability of systems of bounded arithmetic to prove known facts about number theory and polynomial-time algorithms. We first show that the correctness of the deterministic polynomial-time primality test, the AKS algorithm, can be proven in a theory VTC0 2 which can be understood as formalization of the induction axiom for functi- ons computed in the counting hierarchy. We then provide a conditional unprovability for a weaker theory: Assuming that no family of circuits of polynomial-size can factorize a constant fraction of products of two n-bit primes, we show that the theory PV1 of in- duction for polynomial-time predicates, even when augmented by the sharply bounded replacement scheme BB(Σb 1), cannot prove the statement that every number has a prime divisor. Finally, we expand upon the proof strategy of the previous result by analyzing the strength of the Student-Teacher witnessing available for theories between PV1 and S1 2, where we allow the student to answer many candidate solutions at once and separate the different theories under NP ̸⊆ P/poly.

Studujeme sílu systémů omezené aritmetiky v dokazování faktů o teorii čísel a algo- ritmech běžících v polynomiálním čase. Nejprve dokážeme, že korektnost deterministic- kého prvočíselného testu běžícího v polynomiálním čase, AKS algoritmu, lze dokázat v teorii VTC0 2, kterou můžeme chápat jako formalizaci indukce pro funkce počítané v coun- ting hierarchy. Následně dokážeme podmínečnou nedokazatelnost pro slabší teorie: Za předpokladu, že žádná posloupnost obvodů polynomiální velikosti nemůže faktorizovat konstantní zlomek všech násobků dvou n-bitových prvočísel, ukážeme, že teorie PV1 for- malizující indukci pro predikáty ověřitelné v polynomiálním čase, i když by byla rozšířena o ostře omezené schéma výběru BB(Σb 1), nemůže dokázat, že každé číslo má prvočísel- ného dělitele. Nakonec stavíme na důkazové strategii předchozího výsledku a analýzou síly Student-Teacher osvědčování pro teorie mezi PV1 a S1 2, kde umožňujeme studen- tovi poslat mnoho různých kandidátů na odpověď, oddělíme tyto teorie za předpokladu NP ̸⊆ P/poly.