Finite element method with degenerate elements

Abstract

The classical finite element method (FEM) is known to lose its convergence properties on meshes that contain degenerate (near zero-measure) elements. To address this issue, a recently developed Tempered FEM method (TFEM) is presented and analyzed. In addition, a TFEM-DG method is developed. This method uses dummy zero-measure elements within the TFEM framework to allow for the straightforward implementation of the discontinuous Galerkin method (DG) with addition of only one line of code to an existing FEM im- plementation. The thesis provides a detailed theoretical analysis of these issues and techniques supported by numerical experiments. The developed methods are tested on several types of partial differential equations, with a particular fo- cus on convection-dominated and diffusion problems. The results demonstrate that within the context of TFEM-DG, degenerate elements may not present an obstacle but a useful tool.

Klasická metoda konečných prvků (FEM) ztrácí své aproximační vlastnosti na sítích, obsahujících degenerované elementy (tj. elementy téměř nulové míry). Nedávno vyvinutá Tempered FEM metoda (TFEM) částečně řeší problémy s degenerovanými elementy. V práci je TFEM představen a analyzován. Navíc TFEM je rozšířen na TFEM-DG metodu, která pomocí umělých elementů nulové míry a jednoduchého implementačního postupu umožňuje přímočaře implementovat nespojitou Galerkinovu metodu (DG) v rámci existující FEM implementace, pouze přidáním jediného řádku kódu. V práci provádíme teoret- ickou analýzu výše zmíněných problémů a technik, kterou rovněž doplňujeme numerickými experimenty. Vyvinuté metody jsou testovány na několika typech parciálních diferenciálních rovnic, zejména se při testování zaměřujeme na kon- vektivně dominantní a difuzní úlohy. Výsledky demonstrují, že v kontextu metody TFEM-DG nemusí degenerované elementy představovat překážku, ale užitečný nástroj.