Properties of classical operators on discrete classical Lorentz spaces

Abstract

While the theory of operators acting on function spaces is highly developed, the corresponding theory for discrete sequence spaces remains substantially less complete, often presenting unique structural challenges. This thesis is dedicated to filling some of the existing gaps in the discrete theory. First, we systematically develop the discrete Hardy inequalities. Next, we characterize the continuous embeddings of classical discrete Lorentz sequence spaces, providing necessary and sufficient conditions for these inclusions across all admissible parameters p and q. Building upon these estimates, we establish a comprehensive discrete analogue of E. Sawyer's fundamental duality theorem. Finally, we apply this extensive theoretical framework to characterize the boundedness of the discrete Hardy-Littlewood maximal operator on classical Lorentz sequence spaces, establishing precise conditions for various parameter ranges.

Zatímco teorie operátorů působících na prostorech funkcí je velmi rozvinutá, odpoví- dající teorie pro diskrétní prostory posloupností zůstává podstatně méně prozkoumaná a často přináší specifické strukturální problémy. V této práci si klademe za cíl některé mezery z této diskrétní teorie vyplnit. Nejprve systematicky odvodíme diskrétní Har- dyho nerovnosti. Následně charakterizujeme vnoření klasických diskrétních Lorentzových prostorů posloupností a poskytneme nutné a postačující podmínky pro tato vnoření na- příč všemi přípustnými parametry p a q. Na základě těchto odhadů následně formulu- jeme kompletní diskrétní analogii fundamentální věty o dualitě od E. Sawyera. Nakonec aplikujeme náš vybudovaný teoretický aparát k charakterizaci omezenosti diskrétního Hardyho-Littlewoodova maximálního operátoru na klasických Lorentzových prostorech posloupností. Odvodíme přesné podmínky jak pro r;zn0 vztahy parametrů p a q