Finitely fragmentable affine functions

Abstract

We provide a detailed overview of the characterizations and properties of various func- tion classes and their affine counterparts, while also establishing inclusions between said function classes. The primary objective of this thesis is to investigate finitely fragmentable functions and, using Choquet theory alongside results established in the third chapter, to solve open problems concerning their affine counterparts. First, we show that strongly affine function f on a compact convex set X is finitely fragmentable, if its restriction f|ext X is finitely fragmentable. Next, by employing Stacey simplices, we prove that affine finitely fragmentable functions cannot be approximated by differences of affine lower semicontinuous functions on simplices. Finally, we demon- strate that multipliers of the space of affine finitely fragmentable functions cannot be characterized using measurability.

Uvádíme detailní přehled charakterizací a vlastností různých tříd funkcí a jejich afinních protějšků. Zároveň ukazujeme, jak spolu tyto třídy funkcí souvisí pomocí inkluzí. Hlavním cílem práce je zkoumat konečně fragmentované funkce a, aplikováním Choquetovy teorie a výsledků ze třetí kapitoly, vyřešit otevřené problémy týkající se afinních konečně frag- mentovaných funkcí. Nejprve ukážeme, že silně afinní funkce f na kompaktní konvexní množině X je konečně fragmentovaná, jestliže její restrikce f|ext X je konečně fragmentovaná. Poté s využitím Staceyho simplexů dokazujeme, že afinní konečně fragmentované funkce nelze aproximo- vat rozdílem zdola polospojitých afinních funkcí. Nakonec ukážeme, že multiplikátory na prostoru afinních konečně fragmentovaných funkcí není možné charakterizovat měřitel- ností.