Radial multilinear multipliers

Abstract

We show that a bilinear radial Fourier multiplier operator with symbol σ is L2 (Rn ) × L2 (Rn ) → L1 (Rn ) bounded, n ∈ N, if the function σ satisfies the smoothness condition σ(2j ·)Φ ∈ L2 1/2+ε(R2n ) for some ε > 0 and every j ∈ Z, where Φ is a smooth cutoff function adapted to the annulus |x| ∈ [1/4, 4]. This condition is dimension free. We also apply similar reasoning to provide alternative proof of the initial result concern- ing multilinear Bochner-Riesz operator and prove an estimate for generalized bilinear Bochner-Riesz operator. Finally, we extend these methods to the continuous setting to prove the boundedness of maximal bilinear radial multipliers and the maximal bilinear Bochner-Riesz operator.

V této práci ukazujeme, že operátor daný bilineárním radiálním Fourierovým mul- tiplikátorem σ je omezený z L2 (Rn ) × L2 (Rn ) do L1 (Rn ) pro n ∈ N, pokud funkce σ splňuje podmínku hladkosti σ(2j ·)Φ ∈ L2 1/2+ε(R2n ) pro nějaké ε > 0 a každé j ∈ Z, kde Φ je zhlazovací funkce s nosičem v množině |x| ∈ [1/4, 4]. Tato podmínka je nezávislá na dimenzi prostoru. Obdobným způsobem představujeme alternativní důkaz omezenosti multilineárního Bochnerova-Rieszova operátoru a dokážeme omezenost zobecněného bi- lineárního Bochnerova-Rieszova operátoru. Nakonec rozšiřujeme tyto metody na spojitý případ a dokazujeme omezenost pro maximální bilineární radiální multiplikátory a ma- ximální bilineární Bochnerův-Rieszův operátor.