Miery slabej nekompaktnosti v klasických priestoroch

Abstract

In this thesis, we deal with the measures of weak non-compactness wck, wk, and ω in Banach spaces. In the beginning, we give their definitions and basic properties, while summarizing known results on the equivalence of these measures in some Banach spaces. Next we prove the equality of the measures wck and wk in separable spaces and the equality of the measures wk and ω in the space c0(Γ). We give a brief overview of facts about C(K) spaces with emphasis on the case of a countable compact K, and we subsequently use these to obtain a characterization of the equivalence of the measures wck, wk, and ω in the spaces C(K) = C(K, R) for a metrizable compact K, including the optimality of the equivalence constants. As a consequence, we obtain that the measures wk and ω are not equivalent in the space C([0, 1]), which is the first known example of a classical Banach space that satisfies this.

V tejto práci sa zaoberáme mierami slabej nekompaktnosti wck, wk a ω v Banachových priestoroch. Na začiatku uvedieme ich definície a základné vlastnosti, pričom zhrnieme známe výsledky o ekvivalencii týchto mier v niektorých Banachových priestoroch. Ďalej dokazujeme rovnosť mier wck a wk v separabilných priestoroch a rovnosť mier wk a ω v priestore c0(Γ). Uvedieme stručný prehľad faktov o priestoroch C(K) s dôrazom na prípad spočetného kompaktu K a tieto následne použijeme, aby sme získali charakterizáciu ekvivalencie mier wck, wk a ω v priestoroch C(K) = C(K, R) pre metrizovateľný kompakt K vrátane optimality konštánt ekvivalencie. Ako dôsledok dostaneme, že miery wk a ω nie sú ekvivalentné v priestore C([0, 1]), pričom ide o prvý známy príklad klasického Banachovho priestoru, ktorý to spĺňa.