Grassmannián nedegenerovaných Lagrangiánov

Abstract

This diploma thesis analyses(−1)-shifted symplectic dg vector spaces (V, ω, Q), with a focus on non-degenerate isotropic subspaces. Based on the decomposition of the space via cohomology and a pair of Lagrangian subspaces, it derives the canonical form of the differential matrix Q. The central result is a general formula for the dimension of the Grassmannian of these subspaces for an arbitrary graded dimension. The theoretical findings are applied to the computation of dimensions for the space ⋀︁ su(n)∗ via a custom Python algorithm. The final part provides a topological classification of Grassmannians in the space R3 ⊕ R3 [−1], identifying structures such as the real projective plane and the Möbius strip depending on the signature of the quadratic form Sfree. 1

Práce analyzuje (−1)-posunuté symplektické dg vektorové prostory (V, ω, Q) se za- měřením na nedegenerované izotropické podprostory. Na základě rozkladu prostoru přes kohomologii a dvojici Lagrangeovských podprostorů odvozuje kanonický tvar matice di- ferenciálu Q. Ústředním výsledkem je obecný vzorec pro dimenzi Grassmanniánu těchto podprostorů pro libovolnou gradovanou dimenzi. Teoretické poznatky jsou aplikovány na výpočet dimenzí pro prostor ⋀︁ su(n)∗ prostřednictvím vlastního Python algoritmu. Zá- věrečná část poskytuje topologickou klasifikaci Grassmanniánů v prostoru R3 ⊕ R3 [−1], kde identifikuje struktury jako reálná projektivní rovina či Möbiův pás v závislosti od signatury kvadratické formy Sfree. 1