Decoding shadow codes

Abstract

We study a class of linear codes known as shadow codes, introduced by Cherubini and Micheli, which are constructed using multiplicative characters over finite fields. We establish bounds on the minimum distance of shadow codes via superelliptic curves and compare their rate and size with known bounds for general codes. We construct a new subclass of shadow codes whose generator matrices have orthogonal rows, and we show how these codes can be decoded. Moreover, we demonstrate that this new construction admits an asymptotically faster decoding algorithm.

V této práci se zabýváme třídou lineárních kódů známých jako stínové kódy, které za- vedli Cherubini a Micheli a které jsou konstruovány pomocí multiplikativních charakterů nad konečnými tělesy. Odvozujeme odhady minimální vzdálenosti těchto kódů pomocí supereliptických křivek a porovnáváme jejich vlastnosti se známými odhady pro obecné kódy. Dále konstruujeme novou podtřídu stínových kódů, jejichž generující matice mají ortogonální řádky, a ukazujeme, jak lze tyto kódy dekódovat. Dokazujeme, že tato nová konstrukce umožňuje asymptoticky rychlejší dekódovací algoritmus.