Finite Flat Group Schemes

Abstract

Finite flat group schemes are group objects in the category of schemes that are si- multaneously finite and flat over a base scheme. Originally introduced by Grothendieck and his collaborators, they generalise finite algebraic groups to arbitrary base schemes and arise naturally in the study of abelian varieties and Galois representations, forming a foundational component of the theory underlying the proof of Fermat's Last Theorem. This thesis presents a treatment of finite flat group schemes following Tate's exposition, made accessible without requiring deep background in modern scheme theory or alge- braic geometry. The correspondence between affine group schemes and Hopf algebras is developed in detail, Cartier duality is constructed and characterised via the character functor, and three structural results are established: the connected-étale sequence, anni- hilation by order over fields and reduced rings, and Deligne's theorem extending this to all commutative finite flat group schemes over an arbitrary base.

Konečná plochá grupová schémata jsou grupové objekty v kategorii schémat, která jsou zároveň konečná a plochá nad bázovým schématem. Původně zavedená Grothen- dieckem a jeho spolupracovníky zobecňují konečné algebraické grupy na libovolná bázová schémata a přirozeně se vyskytují ve studiu abelovských variet a Galoisových reprezentací, čímž tvoří základní složku teorie stojící za důkazem Velké Fermatovy věty. Tato práce předkládá výklad konečných plochých grupových schémat inspirovaný Tateovou expozicí, přístupný bez hlubokých znalostí moderní teorie schémat či algebraické geometrie. Kore- spondence mezi afinními grupovými schématy a Hopfovými algebrami je podrobně rozvi- nuta, Cartierova dualita je konstruována a charakterizována pomocí funktoru charakterů a jsou dokázány tři strukturální výsledky: connected-étale posloupnost, annihilace řádem nad tělesy a redukovanými okruhy a Deligneova věta rozšiřující tento princip na všechna komutativní konečná plochá grupová schémata nad libovolným bázovým schématem.