Godbersen's Conjecture and Its Generalization

Abstract

This thesis studies Godbersen's conjecture and its generalization proposed by Jan Kotrbatý in 2025. We first summarize known results on Godbersen's conjecture and then discuss higher-order difference bodies and the corresponding conjectures of Kotrbatý. We obtain several partial results. In particular, we prove Kotrbatý's first conjecture in low dimensions and for certain classes of convex bodies, derive partial results toward Kotr- batý's second conjecture, and establish mixed-volume inequalities extending results of Artstein-Avidan, Putterman, and others. We also formulate several additional conjec- tures motivated by their work. 1

Tato diplomová práce se zabývá Godbersenovou domněnkou a jejím zobecněním, které v roce 2025 navrhl Jan Kotrbatý. Nejprve shrneme známé výsledky o Godbersenově domněnce a poté se bude zabývat diferenčními tělesy a odpovídajícími Kotrbatého dom- něnkami. Dokážeme několik částečných výsledků, dokážeme Kotrbatého první domněnku v nízkých dimenzích a pro určité třídy konvexních těles, a taktéž dokážeme obdobné výsledky pro Kotrbatého druhou domněnku. Následně odvodíme nové nerovnosti pro smíšené objemy, které rozšiřují výsledky Artstein-Avidanové, Puttermanové a dalších. Formulujeme také několik dalších domněnek motivovaných jejich pracemi. 1