Tilting modules and finitistic dimensions

Abstract

We study the finitistic dimension of the extension algebra Ã, a triangular matrix ring formed from a basic finite-dimensional k-algebra A by attaching the direct sum of all simple right A-modules as a (B,A)-bimodule where B is a particular k-algebra constructed by Cummings [?, Construction 2.1]. Working within the abelian category of triples CÃ, equivalent to Mod-Ã, we prove the inequality findim(A) ≤ findim(Ã) ≤ findim(A) + 1 established in [?]. By [?], findim(Ã) is equivalent to the existence of a cotorsion pair induced by tilting module TΛ [?, Corollary 4.3.]. In the case where A has finite global dimension we explicitly construct the tilting module TΛ over à in case when A has finite global dimension, and describe the properties of the cotorsion pair induced by TΛ. The thesis recalls all necessary background on triangular matrix rings, their module structure, tilting theory, and cotorsion pairs from first principles.

V této práci studujeme konstrukci rozšiřující algebry à zavedenou Č.Cummings a uvádíme odhad findim(A) ≤ findim(Ã) ≤ findim(A) + 1 pro finitistickou dimenzi. Tuto konstrukci následně analyzujeme z pohledu teorie vychylujících modulů: ukážeme, že nad à lze explicitně zkonstruovat vychylující modul indukovaný vychylujícím modulem nad A, a že výsledný vychylující kotorzní pár má přirozenou a přehlednou strukturu. Práce rovněž podrobně popisuje teorii trojúhelníkových maticových okruhů, zejména strukturu jejich pravých modulů.