Taylorovy řady elementárních funkcí

Abstract

V předložené práci studujeme historii rozvojů elementárních transcendentních funkcí do mocninných řad. Zaměřujeme se především na binomickou řadu, exponenciální řadu, logaritmickou adu, řady funkcí sinus, kosinus a arkustangens v období od začátku 16. století do roku 1829. Zabýváme se též historií Taylorova rozvoje včetně Lagrangeova a Cauchyova tvaru zbytku. Časové vymezení je dáno pracemi indických matematiků Madhavy a Nílakanthy, kde nacházíme rozvoje funkcí arkustangens, sinus a kosinus, a Cauchyovou učebnicí kalkulu z roku 1829, která obsahuje odvození Taylorovy ady a také oba zmíněné tvary zbytku.

In the present work we study the history of power series of the elementary transcendental functions, namely the binomial series, the exponential series, the logarithmic series, sine and cosine series, and the inverse tangent series from early 16th century until 1829. We also describe the history of Taylor's expansion with Lagrange's and Cauchy's form of remainder. Our exposition starts with the works of the Indian mathematicians Madhava and Nilakantha concerning the series for inverse tangent, sine and cosine and proceeds until the publication of Cauchy's textbook, in which he derived and used Taylor's formula with both forms of remainders.