Random polytopes

Abstract

Our work covers the topic of moments of volumes of random simplices. We explain both combinatorial and integral-geometric treatment of the subject. The main themes throughout the work are moments of random determinants, Crofton Reduction Technique, Efon's formulae and Blaschke-Petkantschin formula. We made a major contribution in higher dimensional generalisations of the know problems and pushed the older ideas to their limits in each of the branches mentioned. In random simplices metric moments branch, we were successful to enlarge the list of the exact volumetric moments for other three-dimensional polyhedra than to the only known three (ball, tetrahedron and cube). A new approach was developed to tackle also the volumetric moments in higher dimensions, which were inaccessible using previous methods. A novel systematic use of the well known Crofton Reduction Technique enabled us to found other characteristics of polytopes, such as mean random distances of their interior points or the probability of a triangle formed by random interior points being obtuse. Last but not least, in moments of random determinants branch, we found the fourth moment for a complete general case of matrix entries and the sixth moment for a special special case of centrally distributed entries. Although we solved those problems in...

V této práci se zabýváme momenty objemů náhodných simplexů. Vysvětlíme zde komplexní a ucelenou teorii kombinatorického a integrálně- geomtrického přístupu k tomuto problému, jehož součástí nesmí chybět momenty náhodných matic, Croftonova redukční technika, Efronovy vzorce a Blaschke-Petkantschinova formule. Hlavní přínos této práce spočívá ve zobecnění již známých výsledků do více dimenzí, a to ve všech probíraných tématech. V kapitolách o náhodných simplexech jsme spočetli střední hodnoty objemu náhodného čtyřstěnu v tělese pro celou škálu nových mnohostěnů mimo jediných třech známých (koule, čtyřstěn, krychle). Navíc jsme odvodili analogické výsledky i ve více dimenzích. Nový a systematický přístup ke známé Croftonově redukční metodě nám umožnil vyjádřit exaktně i další charasteriky v mnohostěnech jako například střední hodnoty vzdálenosti dvou vnitřních náhodných bodů a nebo pravděpodobnosti, že náhodný trojúhelník tvořený třemi náhodnými vnitřními body je tupoúhlý. V neposlední řadě, co se týče momentů determinantů náhodných matic, jsme zobecnili čtvrtý moment pro obecná rozdělení prvků matice a našli i šestý moment pro rozdělení prvků s nulovou střední hodnotou. Ačkoli jsme tyto výsledky již publikovali, věnujeme se jim znovu v této práci a znovuodvozujeme je pomocí nástrojů analytické kombintoriky,...