Homomorphisms of Ordered Graphs

Abstract

Homomorphisms of Ordered Graphs Michal Čertík We study ordered graphs, defined as graphs with linearly ordered vertices, from the perspec- tive of homomorphisms. Their structural properties are analyzed together with the associated computational and parameterized complexities, as well as algorithms for related problems. We first show that fixed-target coloring can be solved in polynomial time for ordered graphs. Subsequently, a reduction from homomorphisms of unordered structures to homomorphisms of ordered graphs is established using ordered bipartite graphs. Building on this, the problem of finding ordered homomorphisms between given ordered graphs is shown to be NP-complete. The parameterized version of this problem, with the number of vertices of the target ordered graph as the parameter, is proved to be W[P] and W[1]-hard. Classes of ordered graphs for which this problem can be solved in polynomial time are also identified. Ordered matchings play a crucial role in the area of ordered graphs and their homomor- phisms. Related problems are therefore investigated, and their computational and parameterized complexities are determined. The subgraph problem for ordered matchings is shown to be NP- complete, and the task of finding ordered homomorphisms between ordered matchings is likewise NP-complete,...

Homomorfismy uspořádaných grafů Michal Čertík Studujeme uspořádané grafy, tj. grafy s lineárně uspořádanými vrcholy, z hlediska homomor- fismů. Analyzujeme jejich strukturální vlastnosti spolu se související výpočetní a parametrizo- vanou složitostí a uvádíme také algoritmy pro příbuzné problémy. Nejprve ukazujeme, že obarvování s pevným cílovým grafem lze pro uspořádané grafy řešit v polynomiálním čase. Následně je pomocí uspořádaných bipartitních grafů zavedena redukce z homomorfismů neuspořádaných struktur na homomorfismy uspořádaných grafů. Na základě toho dále ukazujeme, že problém nalezení uspořádaného homomorfismu mezi danými uspořá- danými grafy je NP-úplný. Parametrizovaná verze tohoto problému, kde parametrem je počet vrcholů cílového uspořádaného grafu, je W[P]- a W[1]-těžká. Jsou rovněž identifikovány třídy uspořádaných grafů, pro něž lze tento problém řešit v polynomiálním čase. Uspořádaná párování hrají klíčovou roli v teorii uspořádaných grafů a jejich homomorfismů. Proto zkoumáme související problémy a určujeme jejich výpočetní i parametrizovanou složitost. Ukazujeme, že problém podgrafu pro uspořádaná párování je NP-úplný a že úloha nalezení us- pořádaných homomorfismů mezi uspořádanými párováními je rovněž NP-úplná, což implikuje NP-úplnost i pro obecné varianty těchto problémů. V...