Lipschitz Structure of Banach Spaces

Abstract

Lipschitz free spaces provide a canonical linearization of metric spaces, embedding the category of pointed metric spaces with Lipschitz maps into the category of Banach spaces with bounded linear operators. This thesis consists of three papers that contribute to a nuanced program of extending the framework of Lipschitz free spaces to the non-locally convex setting of Lipschitz free p-spaces for 0 < p ≤ 1. We show that if (M, ρ) is an infinite doubling metric space, then Fp(M, ρα ) ≃ ℓp for every α ∈ (0, 1) and 0 < p ≤ 1. In relation to the Lipschitz extension problem, we establish that metric spaces of finite Nagata dimension are absolutely p-extendable, with consequential applications for the geometry of Lipschitz free p-spaces. Finally, we adapt the Schur property and the compact reduction principle to the quasi-Banach setting and prove that Lipschitz free p-spaces over discrete metric spaces possess the approximation property.

Lipschitzovsky volné prostory poskytují kanonickou linearizaci metrických prostorů: umožňují vnořit kategorii metrických prostorů s lipschitzovskými zobrazeními do kate- gorie Banachových prostorů s omezenými lineárními operátory. Tato disertace sestává ze tří článků, které přispívají ke studiu zobecnění této konstrukce z prostředí Banachových prostorů do lokálně nekonvexních lipschitzovsky volných p-prostorů pro 0 < p ≤ 1. Doká- žeme, že pokud je (M, ρ) nekonečný doubling metrický prostor, pak Fp(M, ρα ) ≃ ℓp pro každé α ∈ (0, 1) a 0 < p ≤ 1. Dále ukážeme, že metrické prostory s konečnou Nagatovou dimenzí jsou absolutně p-rozšiřitelné, což má hluboké důsledky pro teorii lipschitzov- sky volných p-prostorů. Dále zobecníme pojem Schurovy vlastnosti a princip kompaktní redukce do prostředí kvazi-Banachových prostorů a dokážeme, že lipschitzovsky volné p-prostory nad diskrétními metrickými prostory mají aproximační vlastnost.