Properties of generalized convex functions in Banach spaces

Abstract

This thesis contains several new results in the theory of semiconvex functions with modulus ω (hereinafter referred to as ω-semiconvex). We investigate the question when, for a convex subset G of a Banach space X and a modulus ω, it holds that every continuous function f : G → R which is both ω-semiconvex and ω-semiconcave is C1,ω -smooth. If G = X and ω is arbitrary, we prove a new and optimal positive result. Our negative result for some G ⊂ X = Rn shows, e.g., that the quantitative converse Taylor theorem in the monograph of Hájek and Johanis (2014) is optimal in Rn . Further results are versions of Ilmanen's lemma. We ask whether for G, X and ω as above, if f1, f2 : G → R are continuous functions, f1 ≤ f2, f1 is ω-semiconvex (resp. locally ω-semiconvex) and f2 is ω-semiconcave (resp. locally ω-semiconcave), then there exists f ∈ C1,ω (G) (resp. f ∈ C1,ω loc (G)), f1 ≤ f ≤ f2. In the "local case", our positive answer solves the problem of Fathi and Zavidovique (2010). Our new positive answer in the "global case" G = X is subsequently used in the proof of a C1,ω version of the Whitney extension theorem in Banach spaces which improves the result of D. Azagra and C. Mudarra (2021).

Tato práce obsahuje několik nových výsledků v teorii semikonvexních funkcí s obec- ným modulem ω (dále označované jako ω-semikonvexní). Zabýváme se otázkou, kdy pro konvexní podmnožinu G Banachova prostoru X a modulus ω platí, že každá spojitá funkce f : G → R, která je ω-semikonvexní a ω-semikonkávní, je C1,ω -hladká. Pokud G = X a ω je libovolné, pak dokážeme nový a optimální pozitivní výsledek. Náš ne- gativní výsledek pro některé G ⊂ X = Rn ukazuje např., že kvantitativní obrácená Taylorova věta z monografie Hájka a Johanise (2014) je optimální v Rn . Dalšími vý- sledky jsou verze Ilmanenova lemmatu. Ptáme se, zda pro G, X a ω jako výše platí, že když f1, f2 : G → R jsou spojité funkce, f1 ≤ f2, f1 je ω-semikonvexní (resp. lokálně ω-semikonvexní) a f2 je ω-semikonkávní (resp. lokálně ω-semikonkávní), pak existuje f ∈ C1,ω (G) (resp. f ∈ C1,ω loc (G)), f1 ≤ f ≤ f2. V "lokálním případě" naše pozitivní odpověď řeší problém Fathiho a Zavidoviqua (2010). Naši novou pozitivní odpověď v "globálním případě" G = X následně použijeme při důkazu C1,ω verze Whitneyovy roz- šiřovací věty v Banachových prostorech, která zlepšuje výsledek D. Azagry a C. Mudarry (2021).