Arithmetics of number fields: partitions, norms, and quadratic forms

Abstract

In this thesis, we study arithmetic properties of number fields, especially in connection with totally positive integral elements. In Chapter 2, we introduce partitions into powers of a fixed algebraic number and examine the case when it is a quadratic irrational. In Chapter 3 on partitions in real quadratic fields, we prove several results about the range of the associated partition function. A key tool are indecomposable elements, which in turn have applications in the theory of universal quadratic forms. In Chapter 4, we prove an asymptotic estimate for the number of principal ideals with a bounded norm in the family of the simplest cubic fields.

V této práci studujeme aritmetické vlastnosti číselných těles, zvláště v souvislosti s rozklady totálně kladných celistvých prvků. V kapitole 2 zavádíme rozklady na moc- niny pevně daného algebraického čísla a zkoumáme případ, kdy je toto číslo iracionální kvadratické. V kapitole 3 o rozkladech v reálných kvadratických tělesech dokazujeme několik výsledků o oboru hodnot příslušné rozkladové funkce. Klíčovým nástrojem jsou nerozložitelné prvky, které je zároveň možné využít v teorii univerzálních kvadratických forem. V kapitole 4 dokazujeme asymptotický odhad počtu hlavních ideálů s omezenou normou v rodině nejjednodušších kubických těles.