Algorithms for Gray codes and combinatorial generation

Abstract

A combinatorial Gray code is an exhaustive listing of combinatorial objects (bitstrings, permutations, etc.) such that any pair of consecutive objects differ by a prescribed small change. Gray codes have found many applications, both in theory and practice, and re- search on Gray codes connects multiple areas of computer science, such as combinatorics, algorithms, graph theory, and algebra. This thesis consists of three chapters presenting results in the area of combinatorial Gray codes. In the first chapter, we present a solution to the generalized version of the middle levels conjecture, called the central levels problem. A part of the result is also a positive answer to the long-standing question of whether the Greene-Kleitman symmetric chains decomposition can be extended to a Hamilton cycle, together with a loopless algorithm for the resulting Gray code. In the second chap- ter, we give a solution to Knuth's strengthening of the middle levels conjecture, including a linear-delay algorithm. In the third chapter, we present Gray codes for invertible ma- trices over finite fields using row operations, and we prove that the underlying Cayley graph is Hamilton-connected. That is, for any given first and last matrix, there is a Gray code.

Kombinatorický Grayův kód je posloupnost všech objektů z dané kombinatorické třídy (např. bitové řetězce nebo permutace) taková, že se každé dva po sobě jdoucí objekty liší předepsanou malou změnou. Grayovy kódy našly uplatnění jak v teorii, tak v praxi, a výzkum v této oblasti propojuje různé oblasti informatiky, jako jsou kombinatorika, algoritmy, teorie grafů a algebra. Tato dizertace se skládá ze tří kapitol, každá odpovídá jednomu článku v oblasti kombinatorických Grayových kódů. První z nich přináší řešení takzvaného central levels problem, což je zobecněná verze middle levels conjecture. Spolu s tím také přináší pozitivní odpověď na dlouho otevřenou otázku, zda je možné rozší- řit Greene-Kleitmanovu dekompozici na symetrické řetězce na Hamiltonovskou kružnici, a to včetně loopless algoritmu pro vzniklý Grayův kód. Druhá kapitola prezentuje ře- šení Knuthova zesílení middle levels conjecture, a to včetně linear-delay algoritmu. Třetí kapitola se zabývá Grayovými kódy pro invertibilní matice nad konečnými tělesy, kde jsou předepsanou změnou řádkové operace. Tento článek dokazuje, že vzniklý Cayleyho graf obsahuje Hamiltonovskou cestu mezi každými dvěma vrcholy. Jinak řečeno, těmto Grayovým kódům můžeme předepsat, která matice bude první a která poslední.