Fluid flows with random factors

Abstract

This thesis concerns the existence of solutions to the magnetohydrodynamics (MHD) system with stochastic perturbation introduced via random initial data and a stochastic integral solely in the induction equation, while the fluid equations remain deterministic. We focus on the case where the adiabatic exponent exceeds three, although more general results can be achieved. The existence proof is carried out using the penalization method. We begin by defining the notion of a martingale solution and establishing sufficient con- ditions for its existence. The proof then proceeds by means of a stochastic compactness method. Using an energy inequality, we derive a priori estimates in expectation. Due to the stochastic nature of the problem, we demonstrate convergence in law of the penalized solutions. Finally, we verify that the limiting object is a martingale solution.

Tato diplomová práce se zabývá existencí řešení systému magnetohydrodynamiky (MHD) ovlivněného náhodnou perturbací, který je zaveden prostřednictvím náhodných počátečních podmínek a stochastického integrálu, který se nachází pouze v rovnici pro in- dukci, zatímco rovnice pro kapalinu zůstávají deterministické. Zaměřujeme se na případ, kdy pro náš tlak uvažujeme adiabatický exponent větší než tři, ačkoli je možné dosáhnout obecnějších výsledků. Důkaz existence je proveden metodou penalizace. Nejprve definu- jeme pojem martingale řešení a stanovíme předpoklady pro jeho existenci. Důkaz poté probíhá metodou stochastické kompaktnosti. Pomocí energetické nerovnosti odvodíme apriorní odhady ve střední hodnotě. Vzhledem ke stochastické povaze problému ukážeme konvergenci penalizovaných řešení v distribuci. Nakonec ověříme, že limitní objekt je martingale řešení.