Computation of flows of incompressible power-law fluids for low values of the power-law index

Abstract

We address the numerical challenges of the p-Stokes problem for low values of p, extending the work of Diening et al. (2020) on the p-Laplace problem. By formulating the problem as a constrained functional minimization with the pressure as a Lagrange multiplier, we establish the existence and uniqueness of a weak solution. We develop a regularized quasi-Newton Kačanov method, reformulate it as an alternating minimization scheme, and prove weak convergence of the velocity iterates in a divergence-free space. Numerical experiments on three examples highlight the method's robustness, successfully computing solutions for power-law indices as low as p = 1.01, where the classical Newton's method fails.

Zabývali jsme se komplikacemi spojenými s hledáním numerického řešení p-Stokesova problému pro nízké hodnoty p a rozšířili jsme práci Dieninga a kol. (2020) o p-Laplaceově problému. Naši úlohu jsme formulovali jako hledání vázaných extrémů funkcionálu, kde tlak vystupuje jako Lagrangeův multiplikátor odpovídající podmínce nestlačitelnosti, za pomoci čehož jsme dokázali existenci a jednoznačnost slabého řešení. Odvodili jsme regu- larizovanou kvazi-Newtonovskou Kačanovovu metodu a dále ji formulovali jako problém střídavé minimalizace funkcionálu. S pomocí této formulace jsme dokázali slabou kon- vergenci rychlostí v prostoru s nulovou divergencí. Numerické experimenty na třech pří- kladech ukazaly robustnost navržené metody, která dokázala najít numerické řešení pro mocninové indexy až do hodnoty p = 1,01, kde již klasická Newtonova metoda selhává.