Modelování a matematická analýza rovnic popisujících přenos tepla radiací

Abstract

This thesis focuses on a system of partial differential equations describing heat-transfer via means of conduction and radiation. We discuss particular approximative models of SPn type. These models consider optically thick materials and describe the radiative transfer as diffusive process. We are interested in problems where the heat is transferred between two distinct immiscible materials. Computational domain is then split into two subdomains with inner interface between them. The system need to be complemented with transition conditions applied at the interface, those were only recently derived in our previous work. Our main goal is to formulate a well defined notion of a weak solution and establish basic mathematical theory, which have not been yet available. We have established existence and uniqueness of a weak solution in the SP1 case for arbitrary geometry (consisting of two subdomains). In SP2 case we had to deal with difficulties concerning maximum principle and therefore the result is proved only for symmetric domains. The theoretical work is complemented by numerical simulations implemented in Python with FEniCS library.

Tato práce je zaměřena na systém parciálních diferenciálních rovnic popisujících pře- nos tepla pomocí vedení (kondukce) a záření. Pozornost je věnována především aproxi- mativním modelům třídy SPn aproximací. Tyto modely vychází z předpokladu opticky tlustého materiálu a popisují přenos tepla zářením rovněž jako difúzní proces. Speciální kategorie problému je případ, kdy uvažujeme přenos tepla mezi dvěma různými nemísi- telnými materiály. Výpočetní oblast je v takovém případě rozdělena na dvě podoblasti s vnitřním rozhraním mezi nimi. Na tomto rozraní je nutno předepsat dodatečné pod- mínky, které byly odvozeny teprve nedávno v naší předchozí práci. Naším cílem je pro tento problém formulovat pojem slabého řešení a vybudovat základní teorii, která do- posud v literatuře chybí. Podařilo se nám dokázat existenci a jednoznačnost pro systém SP1. Podobně jsme postupovali také v případě SP2 rovnic, ovšem zde jsme byli nuceni omezit se pouze na symetrické oblasti. V závěru práce jsme dokumentovali numerické simulace implementované v jazyku Python pomocí knihovny FEniCS.