Machine Learning Approach to the Solution of Reaction-Diffusion Equations in Low-Temperature Plasma

Abstract

In this thesis, we examine how Physics-Informed Neural Networks (PINNs) can be used to solve the non-linear reaction-diffusion equations that represent the evolution of electron density in a low-temperature afterglow plasma. We use the Alternating-Direction Implicit (ADI) method and Strang operator-splitting to implement a (completely) second- order accurate Finite-Difference Method (FDM) as a standard for different PINN architec- tures. This method is well suited for our second-order non-linear PDE. Next, we evaluate the performance of both methods in terms of accuracy, energy usage, and computation time. The results show that PINNs, especially a 3-layer network with 128 neurons per layer with GELU activation function, achieve comparable accuracy (R2 = 1) and be- come more efficient at higher spatial resolutions, with an estimated break-even point at approximately 1300 spatial steps and time steps. For tridiagonal systems evaluated at lower resolutions, the FDM remains more efficient.

V této práci zkoumáme, jak lze fyzikálně informované neuronové sítě (PINN) po- užít k řešení nelineárních reakčně-difúzních rovnic, které představují vývoj elektronové hustoty v dohasínajícím nízkoteplotním plazmatu. Používáme metodu ADI (Alternating- Direction Implicit) a Strangovo štěpení operátorů k implementaci metody konečných diferencí (FDM) (úplně) druhého řádu jako standard pro různé architektury PINN. Tato metoda je pro naše druhořádové nelineární PDE. Dále vyhodnocujeme výkonnost obou metod z hlediska přesnosti, spotřeby energie a výpočetního času. Výsledky ukazují, že sítě PINN, zejména třívrstvá síť s 128 neurony na vrstvu s aktivační funkcí GELU, do- sahují srovnatelné přesnosti (R2 = 1) a stávají se efektivnějšími při vyšším prostorovém rozlišení, přičemž odhadovaný bod zlomu je zhruba 1300 prostorových a časových kroků. Pro tridiagonální systémy vyhodnocené při nižších rozlišeních zůstává FDM efektivnější.