Parameterized complexity of representing subgraphs satisfying MSO formulas

Abstract

The goal of this thesis is to prove four results, that focus on the problem of repre- senting satisfying assignments of an MSO2 formula for all subgraphs of a fixed graph using a boolean knowledge base. We consider two types of knowledge bases - ordered binary decision diagrams (OBDDs) and sentential decision diagrams (SDDs) and we con- sider the fixed graph in the problem statement to have bounded treewidth or pathwidth. Combining these two choices leads to four possible results. In three cases we prove, that for bounded width of the graph and for bounded size of the MSO2 formula, we can construct a knowledge base of size linear in the size of the graph. The construction of the knowledge bases follows the computation of the tree automaton described in the proof of Courcelle's theorem. In the case for OBDDs and treewidth, we provide a way for constructing problem instances, which require knowledge bases of at least slice-wise polynomial lower size to be represented. Representing satisfying assignments using the knowledge bases enables us to do many operations, like model counting, in polynomial time.

Cílem této práce je dokázat čtyři výsledky, které se zaměřují na reprezentaci spl- ňujících ohodnocení MSO2 formule pro všechny podgrafy pevně daného grafu pomocí struktury pro reprezentaci znalostí. V práci uvažujeme dva typy struktur znalostních bází - uspořádané binární rozhodovací diagramy (OBDD) a sentenciální rozhodovací di- agramy (SDD) a pro graf ze zadání očekáváme, že má buď omezenou stromovou šířku nebo cestovou šířku. Kombinací těchto dvou voleb dostáváme čtyři možné výsledky. Ve třech případech dokážeme, že pro omezenou šířku grafu a pro omezenou velikost MSO2 formule můžeme zkonstruovat znalostní bázi s velikostí, která je lineární ve velikost grafu. Tuto konstrukci provádíme tak, aby výpočty v těchto znalostních bázích odpovídaly výpočtům stromového automatu z důkazu Courcellovy věty. V případě s OBDD a se stromovou šířkou poskytneme způsob, jak zkonstruovat specifické instance, které pro reprezentaci vyžadují znalostní báze polynomiální velikosti s exponentem závislým na stromové šířce. Reprezentování splňujících ohodnocení pomocí znalostních bází nám umožňuje provádět různé operace, jako počítání modelů, v polynomiálním čase.