Stochastic gradient in portfolio selection problems

Abstract

This thesis addresses the problem of portfolio optimization under risk measured by Conditional Value at Risk (CVaR), a nondifferentiable convex function. A scenario-based CVaR minimization problem can be reformulated as a linear program. Although linear programming methods are easy to implement, they become inefficient when dealing with many scenarios. To overcome this, we apply a nondifferentiable optimization technique-namely, stochastic subgradient methods-which scale better with large datasets. We propose a stochastic subgradient method with projection in each iteration, making it suitable for minimizing CVaR over a convex set. We prove the convergence of the proposed algorithm. Numerical experiments on S&P 100 stocks confirm convergence and demonstrate competitive performance compared to linear programming in large-scale cases. Our method reduces computation time while achieving near-optimal risk levels. This thesis improves the applicability of CVaR optimization in realistic, high-dimensional settings.

Tato diplomová práce se věnuje problému optimalizace portfolia, kde je riziko kvantifikováno pomocí podmíněné hodnoty v riziku (CVaR), která představuje nediferencovatelnou konvexní funkci. Úloha minimalizace CVaR na základě scénářů může být přepsána jako lineární program. Přestože jsou lineární programovací metody snadno implementovatelné, jejich výpočetní náročnost prudce roste s rostoucím počtem scénářů, což výrazně omezuje jejich škálovatelnost.Za účelem překonání těchto omezení je v práci navržena metoda nediferencovatelné optimalizace, konkrétně stochastická subgradientní metoda s projekcí v každé iteraci. Tato metoda je vhodná pro minimalizaci CVaR na konvexní množině a lépe škáluje při práci s velkými datovými soubory. V práci je dokázána konvergence navrženého algoritmu. Numerické experimenty provedené na datech akcií indexu S\&P 100 potvrzují konvergenční vlastnosti metody a prokazují její konkurenceschopnost vůči klasickému lineárnímu programování v rozsáhlých úlohách. Navržený přístup výrazně snižuje výpočetní náročnost a zároveň dosahuje téměř optimálních hodnot rizika. Tato práce tak přispívá k rozšíření praktické využitelnosti optimalizace podle CVaR v realistických, vysoce dimenzionálních scénářích.