(Log-)konkavita měr

Abstract

This thesis deals with the properties of unimodal distributions, focusing on both the univariate and multivariate cases. First, the classical definition of unimodality in univari- ate space is presented, followed by an overview of several possible definitions in multidi- mensional spaces, where, unlike in the univariate case, the equivalence of definitions is not preserved. The main part of the thesis is dedicated to log-concave distributions, dis- cussing their properties in detail. Attention is also given to other classes of distributions, specifically s-concavity and quasi-concavity. For all mentioned types of distributions, their properties are illustrated with specific examples. The concluding section focuses on the application of unimodal or log-concave distributions in constructing confidence intervals and sets with minimal volume. 1

Tato diplomová práce se zabývá vlastnostmi unimodálních rozdělení, přičemž se za- měřuje jak na jednorozměrný, tak mnohorozměrný případ. Nejprve je uvedena klasická definice unimodality v jednorozměrném prostoru, poté následuje přehled několika mož- ných definic ve vícerozměrných prostorech, kde na rozdíl od jednorozměrného případu není jednoznačnost zachována. Hlavní část práce je věnována log-konkávním rozdělením, přičemž jsou zde podrobně rozebrány jejich vlastnosti. Pozornost je dále věnována dalším třídám rozdělení, konkrétně s-konkavitě a kvazi-konkavitě. Pro všechny zmíněné typy rozdělení jsou jejich vlastnosti ilustrovány na konkrétních příkladech. Závěrečná část se zaměřuje na aplikaci unimodálních či log-konkávních rozdělení při konstrukci intervalů a oblastí spolehlivosti s minimálním objemem. 1