Arithmetic using residue number systems

Abstract

This thesis focuses on comparing methods aimed at improving the computational ef- ficiency of modular arithmetic, a critical operation in cryptographic algorithms such as RSA and elliptic curve cryptography (ECC). It provides a comprehensive overview of widely-used approaches, including special-form primes, Montgomery multiplication, Bar- rett reduction, and residue number systems (RNS). For each method, explicit algorithms and rigorous proofs of correctness are presented. The work further discusses the practical application of these algorithms within cryptographic contexts, highlighting their relative efficiencies and potential benefits. Ultimately, this thesis serves as a clear reference for selecting suitable algorithms tailored to specific cryptographic requirements.

Tato práce se zabývá porovnáním metod zaměřených na zlepšení výpočetní efekti- vity modulární aritmetiky, která hraje klíčovou roli v kryptografických algoritmech jako RSA nebo kryptografie eliptických křivek (ECC). Poskytuje ucelený přehled běžně pou- žívaných přístupů, mezi které patří prvočísla speciálního tvaru, Montgomeryho násobení, Barrettova redukce a zbytkové číselné soustavy (RNS). Pro každou z těchto metod jsou uvedeny explicitní algoritmy spolu s důslednými důkazy jejich správnosti. Dále práce po- pisuje praktické uplatnění těchto algoritmů v kryptografickém kontextu, zdůrazňuje jejich relativní efektivitu a potenciální výhody. Celkově tato bakalářská práce slouží jako pře- hledný podklad pro volbu vhodných algoritmů dle konkrétních potřeb kryptografických aplikací.