Counting big Ramsey degrees

Abstract

In this thesis, we study computational approaches to counting big Ramsey degrees in the generic partial order, the generic triangle-free graph, and the generic graph without cliques of size four. In each case, we reduce this problem to the enumeration of the corresponding diaries and implement both naive and optimized algorithms for their generation. After introducing key concepts from classical and structural Ramsey theory, we define diaries and formalize the theory behind their constructive generation. Our optimized algorithms, using memoization and canonization, significantly extend the feasible range of computation. While no closed formulas are known, our techniques yield new, previously unknown values and bounds.

V této práci se zabýváme výpočetními metodami k počítání velkých Ramseyovských stupňů v generickém částečném uspořádání, generickém grafu bez trojúhelníků a generickém grafu bez klik na čtyřech vrcholech. Ve všech případech redukujeme tento problém na počítání odpovídajících typů "deníčků" a implementujeme algoritmy pro jejich generování za využití různých optimalizačních technik jako například memoizace a hledání symetrií. Po úvodní části představující klasickou a následně strukturální Ramseyho teorii definujeme pojem "deníčků" a formalizujeme teorii umožňující jejich konstrukční generování. Výsledky práce zásadně rozšiřují dosud známé hodnoty velkých Ramseyovských stupňů a přináší zobecněný postup na jejich generování.