Embeddings of sums and intersections of function spaces

Abstract

We characterize the embeddings X ↪→ Y , where both X and Y are either Lebesgue spaces with different measures or sums or intersections of these. In the case of non-atomic measures, we present a complete description of the optimal constants of the aforemen- tioned embeddings in terms of the involved measures and exponents. Furthermore, we extend some results concerning the non-increasing rearrangement of a function. The proof techniques rely on standard results from measure theory and functional analysis, includ- ing the Radon-Nikodym theorem, Hölder's inequality, and properties of non-increasing rearrangements.

Charakterizujeme vnoření X ↪→ Y , kde jak prostor X, tak prostor Y jsou buď Lebe- sgueovy prostory s různými mírami, nebo představují součet či průnik těchto prostorů. V případě neatomických měr podáváme úplný popis optimálních konstant uvedených vnoření, a to ve vztahu k příslušným měrám a exponentům. Dále rozšiřujeme některé výsledky týkající se nerostoucího přerovnání funkce. Použité důkazové techniky se opírají o standardní výsledky teorie míry a funkcionální analýzy včetně Radonovy-Nikodymovy věty, Hölderovy nerovnosti a vlastností nerostoucího přerovnání.